등차수열

수열이란?

 

1, 2, 3, #, 5, 6

#에 들어갈 숫자는?

예측한대로 4가 들어올것이다.

우리는 여기서 알 수 있듯이 1씩 차례대로 늘어난다는 것을 알았다.

이와같이 규칙을 가진 숫자를 수열이라고 한다.

 

등차수열이란?

 

예시를 먼저 들어보겠다.

 

수열 a = 3, 5, 7, 9, 11...    // 2씩 증가

수열 b = 11, 6, 1, -4...       // -5씩 감소

수열 c = 6, 6, 6, 6...          // 0

 

공차란 것은 수열이 나열되있을때 차이값을 말한다.

초항이란 것은 첫번째 값을 나타낸다.

수열 a의 공차는 2  초항은 3이다.

 

등차수열의 일반항

등차수열의 일반항

예시를 들어보겠다.

 

임의의 n번째 항을 n에 관한 식으로 나타낸 것을 등차수열의 일반항이라 한다.

위의 식으로 예시를 들어보겠다.

3,5,7,9,11...의 경우

공차 = 2

초항 = 3

공차가 2이기 때문에 2n을 만든다. 그후 초항이 3이기 때문에 

2n+1 = 3

즉 n에 1을넣고 1을 더해서 3이되면 된다.

2를 넣으면 두번째 값인 5가 나온다.

 

등차수열의 합 구하기

 

등차수열의 항이 홀수일때

ex) 3, 5, 7, 9, 11

정가운데는 7이다. 

여기서 공차는 a라고 가정한다면 구하는 식은

3 = 7-2a

5 = 7-a

7 = 7

7 = 7+a

7 = 7+2a

이런식으로 가운데부터 차례대로 식을 나열하게되면 공통되는 부분은 바로 3도 2a를 가지고있고 7도 2a를 가지고있다.

여기서 위의 식을 모두 더하게 되면 7이 5개 남게된다. 

즉 7x5가 위 등차수열의 합이 된다.

 

등차수열의 항이 짝수일때

ex) 1, 2, 3, 4, 5, 6

홀수처럼 정가운데가 없다.

합을 구하는방법은 간단하다.

위의 예를 토대로 처음 끝과 마지막을 더해주면 값은 7이된다.

1  + 6 = 7

두번째값과 마지막에서 두번째를 더해주면 또 값이 7이된다.

2 + 5 = 7

이렇게 반복하여 보면 결국 또 7만 남게된다.

결과 = 7 + 7 + 7 = 7 x 3

 

두개의 방법도 있지만 짝수냐 홀수냐 구분없이 구하는 공식도 있다.

등차수열 합의 일반항

ex)1, 2, 3, 4, 5, 6

Sn = 합(21)

a1 = 1(초항)

an = 6(마지막 수)

n = 등차수열 총 갯수(6)

간단한 방법이라 따로 설명은 생략하겠다.